Fibonaĉi-nombro


(Alidirektita el Fibonaĉi-nombroj)

La fibonaĉi-nombroj, estas elementoj de entjerosinsekvo

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (A000045 en OEIS),

en kiu la du unuaj elementoq estas aŭ 1 kaj 1, aŭ 0 kaj 1. Ili estis nomitaj honore de la itala matematikisto Leonardo Pisano, konata kiel Fibonaĉi. Pli formale tiun ĉi sinsekvon \({\displaystyle \left\{F_{n}\right\}}\) oni difinas per rikura formulo:

\({\displaystyle F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\geqslant 2,\quad n\in \mathbb {Z} .}\)

\({\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{se }}n=0;\\1&{\mbox{se }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{se }}n>1.\\\end{cases}}}\)

Oni povas ĝeneraligi fibonaĉi-nombroj por negativaj \({\displaystyle n}\). Por trovi elementojn ĉe negativaj \({\displaystyle n}\) oni uzu la renversitan formulon \({\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}\):

n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
\({\displaystyle F_{n}}\) −55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Oni povas facile rimarki ke \({\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}\).[1]

Enhavo

Historio


La sinsekvo estis konata ĉe barataj matematikistoj multe pli antaŭe ol la tempo de Fibonaĉi.[2]

Ekster Barato la sinsekvo aperis en la libro Liber Abaci (1202) fare de Fibonaĉi. Li esploris la kreskadon de ideala (biologie neebla) populacio de kunikloj. En ĉiu paro de tiuj kunikloj ino ekde la dua monato de sia vivo naskas unu plian paron ĉiumonate kaj kunikloj neniam mortas. Do se komence estas unu paro ĵus naskitaj kunikloj, post monato estas ankaŭ unu paro, post du monatoj estas 2 paroj (la unua paro komencas naski), post tri monatoj — 3 paroj, post kvar monatoj — 5 paroj (naskas du paroj) k.t.p. Post n-a monato la kvanto da paroj egalas sumon de la kvanto post (n-1)-a monato (tiuj paroj jam estis kaj restis plu) kaj la kvanto post (n-2)-a monato (tiom da paroj estis naskitaj ĉi-monate).[3]

La nomon “fibonaĉi-nombroj” unuafoje uzis en 19-a jarcento la franca matematikisto Édouard Lucas.[4]

Rekta (ne rikura) formulo


Ekzistas formulo por kalkuli nur la n-an Fibonaĉi-nombron ne kalkulante ĉiujn antaŭajn. Oni konas ĝin kiel la formulo de Binet, kvankam ĝin pli frue konas Abraham de Moivre:[5]

\({\displaystyle f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right].}\)

Ligo kun la triangulo de Pascal


La fibonaĉi-nombroj aperas en la triangulo de Pascal kiel sumoj de ĝiaj elementoj laŭ strekoj, indikitaj sur la bildo dekstre. La sumojn oni povas esprimi tiel:

\({\displaystyle F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\tbinom {n-k-1}{k}}}\)

Ligo kun la Ora proporcio


Laŭ la formulo de Binet:

\({\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}}\)
\({\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.6180339887\dots }\) (A001622 en OEIS)
\({\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }=(-\varphi )^{-1}\approx -0.6180339887\cdots }\);

\({\displaystyle \varphi }\) estas la ora proporcio; \({\displaystyle \varphi }\) kaj \({\displaystyle (-\varphi )^{-1}}\) estas solvoj de la kvadrata ekvacio \({\displaystyle x^{2}-x-1=0}\).

\({\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}}\)

Rondiga kalkulado

Ĉar \({\displaystyle \left|{\frac {(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}\) por ĉiu \({\displaystyle n>0}\), do \({\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}\) estas la plej proksima entjero por \({\displaystyle F_{n}}\):

\({\displaystyle F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,}\)

aŭ, uzante la plankan funkcion:

\({\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.}\)

Sciante, ke \({\displaystyle F}\) estas fibonaĉi-nombro oni povas trovi ĝian numeron:

\({\displaystyle n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor }}\)

Limeso de kvociento de fibonaĉi-nombroj

Johano Keplero trovis, ke ekzistas limeso de kvociento de \({\displaystyle (n+1)}\)-a fibonaĉi-nombro per la \({\displaystyle n}\)-a, kaj tiu limeso estas \({\displaystyle \varphi }\).[7]

\({\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi }\)

Eblas ĝeneraligi tiun ĉi formulon:

\({\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+\alpha }}{F_{n}}}=\varphi ^{\alpha }}\)

Potencoj de la ora proporcio

Estas vera la sekva egalaĵo:

\({\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1,}\)

Uzante ĝin kiel la bazon por indukto oni povas pruvi, ke

\({\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}\)

Identaĵoj


1). \({\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1}\).

Same per indukto oni povas facile pruvi la tri sekvajn identaĵojn:

2). \({\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{2k-1}=F_{2n}}\);

3). \({\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{2k}=F_{2n+1}-1}\);

4). \({\displaystyle \sum _{k=1}^{n}F_{k}^{2}=F_{n+1}F_{n}}\).

La lastan identaĵon oni povas ilustri, tranĉante la ortangulon kun lateroj je \({\displaystyle F_{n}}\) kaj \({\displaystyle F_{n+1}}\) en kvadratojn kun lateroj je \({\displaystyle F_{n},F_{n+1},\cdots ,F_{1}}\) (vidu la bildon dekstre).

La identaĵoj de Cassini kaj de Catalan

La identaĵo de Cassini deklaras ke:

5.) \({\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}}\)

Ĝia ĝeneraligo estas identaĵo de Catalan:

6.) \({\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}}\)

Aliaj

7). \({\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}}\)

8). \({\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)}\)

9). \({\displaystyle F_{3n+1}=F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}F_{n}^{2}-F_{n}^{3}}\)

10). \({\displaystyle F_{3n+2}=F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}^{2}F_{n}+F_{n}^{3}}\)

11). \({\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left(F_{n+1}^{2}+2F_{n}^{2}\right)-3F_{n}^{2}\left(F_{n}^{2}+2F_{n+1}^{2}\right)}\)

Pli ĝenerala:[8]

12). \({\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c-i}F_{n}^{i}F_{n+1}^{k-i}.}\)


13). \({\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}}\)

Se oni kalkulos la determinantojn do oni ricevos la identaĵon de Cassini.


14).\({\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}}\)

Ĝeneraligoj


Ekzistas multaj ĝeneraligoj de fibonaĉi-nombroj:

\({\displaystyle F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=1;\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=2;\\x\cdot F_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{se }}n\geq 3.\end{matrix}}\right.}\)

Vidu ankaŭ


Eksteraj ligiloj


Referencoj


  1. 1,0 1,1 Knuth, Donald (2008-12-11), “Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane”, Annual meeting , The Fairmont Hotel, San Jose, CA: The Mathematical Association of America.
  2. Singh, Parmanand (1985), “The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India”, Historia Mathematica, 12 (3): 229–44, COI: 10.1016/0315-0860(85)90021-7
  3. Knott, Ron. “Fibonacci's Rabbits” . University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences.
  4. Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus, The Mathematical Association of America, p. 153, ISBN 0-88385-506-2.
  5. Weisstein, Eric W. “Binet's Fibonacci Number Formula” . MathWorld.
  6. John Hudson Tiner (200). Exploring the World of Mathematics: From Ancient Record Keeping to the Latest Advances in Computers . New Leaf Publishing Group. ISBN 978-1-61458-155-0.
  7. Kepler, Johannes (1966), A New Year Gift: On Hexagonal Snow, Oxford University Press, p. 92, ISBN 0-19-858120-3
  8. Weisstein, Eric W., “Fibonacci Number ”. MathWorld.







Kategorioj: Entjeraj vicoj | Teoria biologio




Informoj kiel: 31.10.2020 02:14:10 CET

Fonto: Wikipedia (Aŭtoroj [Historio])    Permesilo: CC-BY-SA-3.0

Ŝanĝoj: Ĉiuj bildoj kaj plej multaj desegnaj elementoj rilataj al tiuj estas forigitaj. Iuj Ikonoj estis anstataŭigitaj per FontAwesome-Ikonoj. Iuj ŝablonoj estis forigitaj (kiel "artikolo bezonas vastiĝon) aŭ atribuitaj (kiel" hatnotoj). CSS-klasoj estis aŭ forigitaj aŭ harmoniigitaj.
Vikipedio-ligoj, kiuj ne kondukas al artikolo aŭ kategorio (kiel "Redlinks", "ligoj al la redaktopaĝo", "ligoj al portaloj") estis forigitaj. Ĉiu ekstera ligo havas plian FontAwesome-Ikonon. Krom kelkaj malgrandaj ŝanĝoj de dezajno, rimedo-ujo, mapoj, navigado-skatoloj, parolitaj versioj kaj Geo-mikroformatoj estis forigitaj.

Bonvolu rimarki: Ĉar la donita enhavo estas aŭtomate prenita el Vikipedio en la donita tempo, mana kontrolado estis kaj ne eblas. Tial LinkFang.org ne garantias la ekzaktecon kaj aktualecon de la akirita enhavo. Se estas informo malĝusta tiutempe aŭ malĝusta ekrano, bonvolu senti vin libera. kontaktu nin: retpoŝto.
Vidu ankaŭ: Presaĵo & Privateca politiko.